泡沫铝填充薄壁圆管吸能特性优化②

RSM的基本理论

   RSM采用实验设计理论对指定的设计点集合进行实验，得到目标函数和约束函数的响应面模型，预测非实验点的响应值。

其基本理论可简述如下：

   空间设计变量X与响应Y的函数关系表达式为:
                             m
   Y(X) = f(X) + ε = Σa_iφ_i(X) + ε                                   (1)

                          i=0

   式中：f为目标或约束的近似函数，表示响应面；ε为误差项；m为基函数的个数；基函数φ(X)为设计变量X=Eⁿ的函数。

   常用的2阶多项式响应面模型为：

         m             m            m 
   f(X) =a_o + Σa_ix_i + Σa_iix²_i+Σa_ijx_i y_i                              (2)

          i=1          i=1          i<j

   同理，可构造3阶、4阶甚至更高阶的多项式响应面近似模型。

   未知系数A=[a_o，a_1，...,a_p]^T采用最小二乘法确定,即

            k          k                p

    E(ε)=Σε²= Σ｛[Y(X)-Σa_iφ_i(X)]²｝

  j=1       j=1             i=0                                     (3)

    ∂E(ε)/ ∂a_i∣_ai*=-2X^TY+2X^TA=0           

    A=(x^Tx)^-1x^TY                                                  (4)

    式中：Y=[Y(X₁)，Y(X₂),...，Y(X_k)]为在k(k>p)个仿真点处的响应向量；x为基函数矩阵。

    X= φ₁(X₁)...φ_p(X₁)、X=φ₁(X_k)...φ_p(X_k)             (5)

    这里选取4次基函数进行响应面近似。